segunda-feira, 7 de setembro de 2015

Movimento Uniforme
Quando um móvel se desloca com uma velocidade constante, diz-se que este móvel está em um movimento uniforme (MU). Particularmente, no caso em que ele se desloca com uma velocidade constante em trajetória reta, tem-se um movimento retilíneo uniforme.
Uma observação importante é que, ao se deslocar com uma velocidade constante, a velocidade instantânea deste corpo será igual à velocidade média, pois não haverá variação na velocidade em nenhum momento do percurso.
A equação horária do espaço pode ser demonstrada a partir da fórmula de velocidade média.
Por exemplo:
Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. O eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede?
Um tiro é disparado contra um alvo preso a uma grande parede capaz de refletir o som. O eco do disparo é ouvido 2,5 segundos depois do momento do golpe. Considerando a velocidade do som 340m/s, qual deve ser a distância entre o atirador e a parede?
Aplicando a equação horária do espaço, teremos:
É importante não confundir o s que simboliza o deslocamento do s que significa segundo. Este é uma unidade de tempo. Para que haja essa diferenciação, no problema foram usados: S (para deslocamento) e s(para segundo).
Saiba mais...
Por convenção, definimos que, quando um corpo se desloca em um sentido que coincide com a orientação da trajetória, ou seja, para frente, então ele terá uma v>0 e um |
Diagrama s x t
Existem diversas maneiras de se representar o deslocamento em função do tempo. Uma delas é por meio de gráficos, chamados diagramas deslocamento versus tempo (s x t). No exemplo a seguir, temos um diagrama que mostra um movimento retrógrado:
Analisando o gráfico, é possível extrair dados que deverão ajudar na resolução dos problemas:
S
|
50m
|
20m
|
-10m
|
T
|
0s
|
1s
|
2s
|
Sabemos então que a posição inicial será a posição
= 50m quando o tempo for igual a zero. Também sabemos que a posição final s=-10m se dará quando t=2s. A partir daí, fica fácil utilizar a equação horária do espaço e encontrar a velocidade do corpo:
Saiba mais:
A velocidade será numericamente igual à tangente do ângulo formado em relação à reta onde está situada, desde que a trajetória seja retilínea uniforme. |
Diagrama v x t
Em um movimento uniforme, a velocidade se mantém igual no decorrer do tempo. Portanto seu gráfico é expresso por uma reta:
Dado este diagrama, uma forma de determinar o deslocamento do móvel é calcular a área sob a reta compreendida no intervalo de tempo considerado.
Velocidade Relativa
É a velocidade de um móvel relativa a outro.
Por exemplo:
Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que
. A velocidade relativa será dada se considerarmos que um dos trens (trem 1) está parado e o outro (trem 2) está se deslocando. Ou seja, seu módulo será dado por
.
Considere dois trens andando com velocidades uniformes e que
Generalizando, podemos dizer que a velocidade relativa é a velocidade de um móvel em relação a um outro móvel referencial.
Movimento Uniformemente Variado
Também conhecido como movimento acelerado, consiste em um movimento onde há variação de velocidade, ou seja, o móvel sofre aceleração à medida que o tempo passa.
Mas se essa variação de velocidade for sempre igual em intervalos de tempo iguais, então dizemos que este é um Movimento Uniformemente Variado (também chamado de Movimento Uniformemente Acelerado), ou seja, que tem aceleração constante e diferente de zero.
O conceito físico de aceleração, difere um pouco do conceito que se tem no cotidiano. Na física, acelerar significa basicamente mudar de velocidade, tanto tornando-a maior, como também menor. Já no cotidiano, quando pensamos em acelerar algo, estamos nos referindo a um aumento na velocidade.
O conceito formal de aceleração é: a taxa de variação de velocidade numa unidade de tempo, então como unidade teremos:
Aceleração
Assim como para a velocidade, podemos definir uma aceleração média se considerarmos a variação de velocidade
em um intervalo de tempo
, e esta média será dada pela razão:
Velocidade em função do tempo
No entanto, quando este intervalo de tempo for infinitamente pequeno, ou seja,
, tem-se aaceleração instantânea do móvel.
Isolando-se o
:
Mas sabemos que:
Então:
Entretanto, se considerarmos
, teremos a função horária da velocidade do Movimento Uniformemente Variado, que descreve a velocidade em função do tempo [v=f(t)]:
Posição em função do tempo
A melhor forma de demonstrar esta função é através do diagrama velocidade versus tempo (v x t) no movimento uniformemente variado.
O deslocamento será dado pela área sob a reta da velocidade, ou seja, a área do trapézio.
Onde sabemos que:
logo:
ou
Interpretando esta função, podemos dizer que seu gráfico será uma parábola, pois é resultado de uma função do segundo grau.
Equação de Torricelli
Até agora, conhecemos duas equações do movimento uniformemente variado, que nos permitem associar velocidade ou deslocamento com o tempo gasto. Torna-se prático encontrar uma função na qual seja possível conhecer a velocidade de um móvel sem que o tempo seja conhecido.
Para isso, usaremos as duas funções horárias que já conhecemos:
(1) 
(2) 
Isolando-se t em (1):
Substituindo t em (2) teremos:
Reduzindo-se a um denominador comum:
Exemplo:
(UFPE) Uma bala que se move a uma velocidade escalar de 200m/s, ao penetrar em um bloco de madeira fixo sobre um muro, é desacelerada até parar. Qual o tempo que a bala levou em movimento dentro do bloco, se a distância total percorrida em seu interior foi igual a 10cm?
Apesar de o problema pedir o tempo que a bala levou, para qualquer uma das funções horárias, precisamos ter a aceleração, para calculá-la usa-se a Equação de Torricelli.
Observe que as unidades foram passadas para o SI (10cm=0,1m)
A partir daí, é possível calcular o tempo gasto:
Movimento Vertical
Se largarmos uma pena e uma pedra de uma mesma altura, observamos que a pedra chegará antes ao chão.
Por isso, pensamos que quanto mais pesado for o corpo, mais rápido ele cairá. Porém, se colocarmos a pedra e a pena em um tubo sem ar (vácuo), observaremos que ambos os objetos levam o mesmo tempo para cair.
Assim, concluímos que, se desprezarmos a resistência do ar, todos os corpos, independente de massa ou formato, cairão com uma aceleração constante: a aceleração da Gravidade.
Quando um corpo é lançado nas proximidades da Terra, fica então, sujeito à gravidade, que é orientada sempre na vertical, em direção ao centro do planeta.
O valor da gravidade (g) varia de acordo com a latitude e a altitude do local, mas durante fenômenos de curta duração, é tomado como constante e seu valor médio no nível do mar é:
g=9,80665m/s²
No entanto, como um bom arredondamento, podemos usar sem muita perda nos valores:
g=10m/s²
Lançamento Vertical
Um arremesso de um corpo, com velocidade inicial na direção vertical, recebe o nome de Lançamento Vertical.
Sua trajetória é retilínea e vertical, e, devido à gravidade, o movimento classifica-se com Uniformemente Variado.
As funções que regem o lançamento vertical, portanto, são as mesmas do movimento uniformemente variado, revistas com o referencial vertical (h), onde antes era horizontal (S) e com aceleração da gravidade (g).
Sendo que g é positivo ou negativo, dependendo da direção do movimento:
Lançamento Vertical para Cima
g é negativo
Como a gravidade aponta sempre para baixo, quando jogamos algo para cima, o movimento será acelerado negativamente, até parar em um ponto, o qual chamamos Altura Máxima.
Lançamento Vertical para Baixo
g é positivo
No lançamento vertical para baixo, tanto a gravidade como o deslocamento apontam para baixo. Logo, o movimento é acelerado positivamente. Recebe também o nome de queda livre.
Exemplo
Uma bola de futebol é chutada para cima com velocidade igual a 20m/s.
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo.
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².
(a) Calcule quanto tempo a bola vai demorar para retornar ao solo.
(b) Qual a altura máxima atingida pela bola? Dado g=10m/s².
(a)
Neste exemplo, o movimento é uma combinação de um lançamento vertical para cima + um lançamento vertical para baixo (que neste caso também pode ser chamado de queda livre). Então, o mais indicado é calcularmos por partes:
Movimento para cima:
Movimento para baixo:
Como não estamos considerando a resistência do ar, a velocidade final será igual à velocidade com que a bola foi lançada.
Observamos, então, que nesta situação, onde a resistência do ar é desprezada, o tempo de subida é igual ao de decida.
(b)
Sabendo o tempo da subida e a velocidade de lançamento, podemos utilizar a função horária do deslocamento, ou então utilizar a Equação de Torricelli.
Lembre-se de que estamos considerando apenas a subida, então t=2s
ou
Vetores
Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.
Se indicarmos
onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado por
Um mesmo vetor
As características de um vetor
O módulo de
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da Soma de vetores
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:
v - w = (a-c,b-d)
Produto de um número escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:
c.v = (ca,cb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
Vetor unitário
Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.
Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:
Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.
Decomposição de vetores em Vetores Unitários
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e
Então, a projeção do vetor
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.
Produto escalar
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:
u.v = a.c + b.d
Exemplos:
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:
u.v = |u| |v| cos(x)
onde x é o ângulo formado entre u e v.
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,
desde que nenhum deles seja nulo.
Aceleração e Velocidade Vetoriais
Vetor Posição
Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem O.
Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor.
O vetor
Velocidade Vetorial
Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do gráfico acima, ocupando posições
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento pelo intervalo de tempo:
Observação:
O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo
pelo vetor
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, quando o intervalo de tempo tender a zero (
então:
Aceleração Vetorial
Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória qualquer com velocidade
Observação:
Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor (
Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada quando o intervalo de tempo tender a zero (
Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para notação vetorial:
Por exemplo:
Um corpo se desloca com velocidade
(a)Qual o vetor velocidade após 10 segundos? (b)Qual a posição do móvel neste instante?
(a)Para calcularmos a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções em x e y:
Assim, podemos dividir o movimento em vertical(y) e horizontal(x):
Em x:
Em y:
A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade:
(b)Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posição pela equação de Torricelli, ou pela função horária do deslocamento, ambas na forma de vetores:
Por Torricelli:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
Pela Função horária da Posição:
na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.
|